Cara menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde satu

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari proses pembentukan Persamaan Diferensial Orde satu dan dua. Pada kesempatan kali ini kita akan mempelajari bagaimana cara menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde satu.

Penyelesaian Persamaan Diferensial dapat dilakukan dengan memanipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan hanya menyisakan hubungan antara x dan y.

Ada beberapa cara/metode untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial, yaitu :

Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk dy/dx = f(x) atau dapat juga ditulis y’ = f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh :
Tentukan penyelesaian dari y' = 3x² – 4x + 8

Penyelesaian.
dy/dx = 3x² – 4x + 8
        y = ∫(3x² – 4x + 8) dx
            = x³ – 2x² + 8x + C

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari xy' = 7x³ – 2

Penyelesaian

Contoh:

Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan e^xy' = 4 jika pada saat x = 0 nilai y = 3.

Penyelesaian

            y = –4e^–x + C

Masukkan nilai x = 0 → y = 3
3 = –4e^–0 + C
3 = –4 + C
C = 3 + 4 = 7

dengan demikian penyelesaian khusus dari persamaan e^xy' = 4 adalah
y = –4e^–x + 7

Metode 2
Dengan pemisahan variabel

Metode/cara Pemisahan Variabel ini digunakan apabila persamaan yang diberikan berbentuk dy/dx = f(x, y) atau y’ = f(x, y), variabel di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari y' = 2x/(y + 1)

Penyelesaian