Teorema Sisa dan Suku Banyak (Polinomial)

Algoritma Pembagian Suku Banyak

1. Pengertian dan Nilai Suku Banyak

a. Pengertian Suku Banyak

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan:

    a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₁x + a₀

Dengan syarat:
      n ∈ bilangan cacah dan
      a_n, a_{n – 1}, … , a₀ disebut koefisien-koefisien suku banyak,
      a₀ disebut suku tetap dan a_n ≠ 0.

Contoh :
1) 4x³ – 5x² + 2x – 1 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x³ adalah 4, koefisien x² adalah –5, koefisien x adalah 2, dan suku tetapnya –1.

2) 3x² –x + 5 – 9/x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu 9/x atau 9x^–1 dengan pangkat –1 bukan anggota bilangan cacah.

b. Nilai Suku Banyak

Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.

    f(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₁x + a₀

di mana n ∈ bilangan cacah dan aⁿ ≠ 0.

Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jika nilai x diganti k, maka nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak³ + bk² + ck + d.

Agar lebih memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1
Hitunglah nilai suku banyak f(x) = 2x³ + 3x² – 12 untuk x = 2, dengan menggunakan metode subtitusi.

Penyelesaian :
f(x) = 2x³ + 3x² – 12 untuk x = 2
    f(2) = 2⋅2³ + 3⋅2² – 12
          = 2⋅8 + 3⋅4 – 12
          = 16 + 12 – 12
    f(3) = 16
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 2 adalah 16.



Contoh soal 2
Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x⁴ + 2x³ – 3x² + 5x + 10 untuk x = –3, dengan menggunakan metode subtitusi.

Penyelesaian :
f(x)   = x⁴ + 2x³ – 3x² + 5x + 10 untuk x = –3
    f(–3) = (–3)⁴ + 2⋅(–3) ³ – 3(–3) ² + 5⋅(–3) + 10
             = 81 – 54 – 27 – 15 + 10
    f(–3) = – 5
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = –3 adalah – 5.


2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik
Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu akan lebih mudah jika menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara substitusi.

Agar teman-teman lebih mudah memahami cara Horner ini, kita coba mengerjakan contoh soal 2 diatas dengan menggunakan cara Horner ya.

Contoh soal 2, dengan Cara Horner
Hitunglah nilai suku banyak f(x) = x⁴ + 2x³ – 3x² + 5x + 10 untuk x = –3.

Perhatikan Langkah-langkah penyelesaiannya berikut ini...
Langkah 1
Buatlah garis tegak lurus, kemudian tulis koefisien dari suku banyak f(x) pada bagian paling atas. Dan letakkan nilai x yang diberikan pada sebelah kiri garis. (lihat gambar dibawah ini)


Langkah 2
Kosongkan bagian paling depan pada baris kedua (dibawah angka 1). Kemudian jumlahkan dengan angka diatasnya, dan tulis hasil penjumlahannya di bawah garis (pada baris ketiga)



Langkah 3
Kalikan nilai x (–3 yang dilingkari) dengan angka pada baris ketiga (angka 1), tulis hasil perkaliannya pada baris kedua.


Langkah 4
Jumlahkan 2 dengan –3, dan tulis hasil penjumlahannya dibawahnya.



Langkah 5
Ulangi kembali langkah ke-3 dan ke-4 hingga diperoleh hasil seperti gambar berikut ini.


Langkah 6
Perhatikan angka yang terletak paling belakang pada baris ketiga (pojok kanan bawah, yang saya beri kotak warna oranye).
Angka paling ujung itulah nilai suku banyak f(x) = x⁴ + 2x³ – 3x² + 5x + 10 untuk x = –3.
Jadi, nilai f(x) untuk x = –3 adalah –5.



Sekian penjelasan Suku Banyak (polinomial) pada postingan kali ini. Semoga bermanfaat dan dapat membantu belajar teman-teman.
Tetap Rajin belajar dan berlatih ya Teman-teman! Jika ada pertanyaan silahkan tulis dikolom komentar ya, atau bisa langsung chat di WA ^^